Könnyen elsajátítható a faktoranalízis módszere? (tudásbázis)

Ezt nem hiszem el :(((((((

Ez ahonnan kimásoltam, egyben vlt, rossz a szövegszerkesztő!

Itt a link akkor:

[link]

Boccs, nem tehetek róla!

Legyen VarY = Λ diagonális mátrix, akkor azt kapjuk, hogy

,

T

U

U

D

Λ

=

ez pedig éppen

D spektrálel

ı

állítása. Ennek alapján a következ

ı

elnevezéseket vezetjük be.

• Legyen VarX spektrálel

ı

állítása

,

1

∑

=

=

Λ

=

n

i

i

i

i

u

u

U

U

D

T

T

λ

λ

1

≥ … ≥

λ

n

≥ 0. Ekkor az

Y = U

T

X véletlen vektort az X f

ı

komponens-vektorának nevezzük, az Y vektor i-edik

koordinátája,

X

u

Y

i

i

T

=

pedig az X i-edik f

ı

komponense. Világos, hogy a f

ı

komponen-

sek vektora szintén 0 várható érték

ő

és a kovarianciamátrixa diagonális:

,Λ

=

Λ

=

=

U

U

U

U

DU

U

Y

T

T

T

Var

vagyis a f

ı

komponensek páronként korrelálatlanok és szórásaik, melyeket az X kanoni-

kus szórásainak nevezünk, éppen D sajátértékeinek négyzetgyökei: DY

i

=

i

λ

.

• Vegyük észre, hogy a f

ı

komponens-vektor forgatásinvariáns: ha V ortonormált

mátrix, X és VX f

ı

komponens-vektora megegyezik. Valóban, mivel VarVX = VDV =

VUΛU

T

V

T

= WΛW

T

, ahol W = VU is ortonormált, ezért VX f

ı

komponens-vektora W

T

VX

= U

T

V

T

VX = U

T

X.

• Az viszont már nem teljesül, hogy a f

ı

komponens-vektor skálainvariáns is lenne

(vagyis a mértékegység megváltoztatása általában már megváltoztatja a f

ı

komponense-

ket). A skálatranszformáció egy ∆ diagonális mátrixszal való szorzást jelent, és U

T

X =

U

T

∆

–1

∆X miatt az invariancia azt jelentené, hogy Var∆X = ∆D∆ spektrálel

ı

állításában az

ortonormált mátrix ∆

–1

U lenne, ez utóbbi azonban rendszerint nem is forgatás.

• Ha rang D = k ≤ n, akkor csak az els

ı

k f

ı

komponens különbözik 0-tól. Legyen v

i

=

,

i

i

u

λ

i = 1, …, k, V = [v

1

, …, v

k

] n×k méret

ő

mátrix, és Z a

i

i

i

Y

Z

λ

=

koordináták-

ból álló k dimenziós véletlen vektor. Ekkor X = VZ, Z szórásmátrixa az egységmátrix és

V olyan mátrix, melynek oszlopai ortogonálisak és normáik rendre az X kanonikus

szórásaival egyenl

ı

k. Ezt az el

ı

állítást X kanonikus el

ı

állításának nevezzük.

• Ha D sajátértékei mind különböznek, a f

ı

komponensek el

ı

jelt

ı

l eltekintve egyértel-

m

ő

ek. Ha azonban egy sajátérték többszörös, akkor a megfelel

ı

sajátvektorok nem

egyértelm

ő

ek, a sajátaltérben tetsz

ı

legesen elforgathatók.

• A f

ı

komponensek szemléletes jelentése.

Legyen e tetsz

ı

leges egységvektor, ekkor X-nek az e irányára való vetülete (e

T

X)e, és az

e irányába es

ı

szórásnégyzete D

2

(e

T

X) = e

T

De. Ha e és f két egységvektor, az irányukra

es

ı

vetületek pontosan akkor korrelálatlanok, ha e

T

Df = 0, ugyanis cov(e

T

X, f

T

X) =

E(e

T

XX

T

f) = e

T

Df. Ezért a következ

ı

állítás igazolható. A f

ı

komponensek bevezetésénél

tekintett új koordinátarendszer els

ı

tengelye irányában a legnagyobb az X szórása az

összes lehetséges n dimenziós irány közül, és ez a maximum éppen az els

ı

kanonikus

szórás. Ezt a tengelyt ezért els

ı

f

ı

tengelynek is nevezik. A második koordinátatengely

iránya az els

ı

re mer

ı

leges irányok közül az, amelyikre nézve X szórása a legnagyobb,

mégpedig éppen a második kanonikus szórással egyenl

ı

, ez a irány a második f

ı

tengely,

és így tovább. Az X vektor vetületei az az új koordinátatengelyekre a f

ı

komponensek.